Question

（1）解含x的不等式：2^2x+1＜（

1

4

）^2-3x；
（2）求函数y=log₂（x²-2x+3）的值域，并写出其单调区间．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）利用指数函数的单调性化简不等式，求解即可．
（2）通过二次函数的对称轴，以及对数函数的单调性，通过复合函数的单调性写出单调区间即可．

解答： 解：（1）：2^2x+1＜（

1

4

）^2-3x=2^6x-4，
∵y=2^x，是增函数，
∴2x+1＜6x-4，
∴x＞

5

4

…（4分）
（2）函数y=log₂（x²-2x+3），x²-2x+3=（x-1）²+2≥2，x∈[1，+∞）时，x²-2x+3是增函数，
数y=log₂x是增函数，由防晒霜的单调性可知：函数y=log₂（x²-2x+3），
满足y∈[1，+∞）…（6分）
函数y=log₂（x²-2x+3）的增区间[1，+∞），减区间（-∞，1]…（8分）．

点评：本题考查指数函数的单调性以及对数函数的单调性的应用，指数对数不等式的解法，考查计算能力．