Question

已知函数f(x)＝e^x－m－x，其中m为常数．

(1)若对任意x∈R有f(x)≥0恒成立，求m的取值范围；

(2)当m>1时，判断f(x)在[0,2m]上零点的个数，并说明理由．

Answer 1

解　(1)依题意，可知f(x)在R上连续，

且f′(x)＝e^x－m－1，令f′(x)＝0，得x＝m，

故当x∈(－∞，m)时，e^x－m<1，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x∈(m，＋∞)时，e^x－m>1，f′(x)>0，f(x)单调递增．

故当x＝m时，f(m)为极小值也是最小值．

令f(m)＝1－m≥0，得m≤1.

即对任意x∈R，f(x)≥0恒成立时，m的取值范围是(－∞，1]．

(2)当m>1时，f(m)＝1－m<0.

∵f(0)＝e^－m>0，f(0)·f(m)<0，且f(x)在(0，m)上单调递减，

∴f(x)在(0，m)上有一个零点．

又f(2m)＝e^m－2m，令g(m)＝e^m－2m，

∵当m>1时，g′(m)＝e^m－2>0，

∴g(m)在(1，＋∞)上单调递增．

∴g(m)>g(1)＝e－2>0，即f(2m)>0.

∴f(m)·f(2m)<0，∴f(x)在(m,2m)上有一个零点．故f(x)在[0,2m]上有两个零点．