Question

10．（1）已知a＞0，b＞0，求证：$\frac{{x}^{2}}{a}$+$\frac{{y}^{2}}{b}$≥$\frac{（x+y）^{2}}{a+b}$．
（1）已知函数f（x）=$\frac{1}{2-si{n}^{2}x}$+$\frac{1}{3-2co{s}^{2}x}$，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）a＞0，b＞0，（$\frac{{x}^{2}}{a}$+$\frac{{y}^{2}}{b}$）（a+b）=x²+y²+$\frac{a{y}^{2}}{b}$+$\frac{b{x}^{2}}{a}$，利用基本不等式的性质即可证明．
（2）由（1）得f（x）=$\frac{1}{2-si{n}^{2}x}$+$\frac{1}{3-2co{s}^{2}x}$=$\frac{（\sqrt{2}）^{2}}{4-2si{n}^{2}x}$+$\frac{{1}^{2}}{3-2co{s}^{2}x}$，再利用（1）的结论即可得出．

解答 （1）证明：∵a＞0，b＞0，
∴（$\frac{{x}^{2}}{a}$+$\frac{{y}^{2}}{b}$）（a+b）=x²+y²+$\frac{a{y}^{2}}{b}$+$\frac{b{x}^{2}}{a}$≥x²+y²+2xy=（x+y）²．当bx=±ay时，等号成立．
∴$\frac{{x}^{2}}{a}$+$\frac{{y}^{2}}{b}$≥$\frac{（x+y）^{2}}{a+b}$．
（2）由（1）得f（x）=$\frac{1}{2-si{n}^{2}x}$+$\frac{1}{3-2co{s}^{2}x}$=$\frac{（\sqrt{2}）^{2}}{4-2si{n}^{2}x}$+$\frac{{1}^{2}}{3-2co{s}^{2}x}$≥$\frac{（\sqrt{2}+1）^{2}}{7-2si{n}^{2}x-2co{s}^{2}x}$=$\frac{3+2\sqrt{2}}{5}$．当sin²x=$\frac{5\sqrt{2}-6}{2}$时取等号．
∴f（x）的最小值为$\frac{3+2\sqrt{2}}{5}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质、三角函数求值，考查了变形推理能力与计算能力，属于中档题．