题目内容
数列{an}的前n项和为Sn，若a1=3，Sn和{an}满足等式Sn+1=
Sn+n+1，
（1）求S2的值；
（2）求证：数列{
}是等差数列；
（3）求数列{an}的通项公式．
| n+1 |
| n |
（1）求S2的值；
（2）求证：数列{
| Sn |
| n |
（3）求数列{an}的通项公式．
考点：等差数列的性质
专题：综合题,等差数列与等比数列
分析：（1）n=2代入，即可求S2的值；
（2）条件两边同除以n+1，可得数列{
}是等差数列；
（3）求出Sn，利用当n≥2时，an=Sn-Sn-1，求数列{an}的通项公式．
（2）条件两边同除以n+1，可得数列{
| Sn |
| n |
（3）求出Sn，利用当n≥2时，an=Sn-Sn-1，求数列{an}的通项公式．
解答：
（1）解：由已知：S2=2S1+2=2a1+2=8…（2分）
（2）证明：∵Sn+1=
Sn+n+1
同除以n+1，可得
-
=1…（4分）
∴{
}是以3为首项，1为公差的等差数列．…（6分）
（3）解：由（2）可知，Sn=n2+2n(n∈N*)…（8分）
∴当n=1时，a1=3…（10分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1…（11分）
经检验，当n=1时也成立∴an=2n+1（n∈N*）…（12分）
（2）证明：∵Sn+1=
| n+1 |
| n |
同除以n+1，可得
| Sn+1 |
| n+1 |
| Sn |
| n |
∴{
| Sn |
| n |
（3）解：由（2）可知，Sn=n2+2n(n∈N*)…（8分）
∴当n=1时，a1=3…（10分）
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1…（11分）
经检验，当n=1时也成立∴an=2n+1（n∈N*）…（12分）
点评：本题考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．
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