题目内容
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n，n∈N*．
（Ⅰ）证明：数列{an+1}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中数列{an}，若数列{bn}满足bn=log2（an+1）（n∈N*），在bk与bk+1之间插入2k-1（k∈N*）个2，得到一个新的数列{cn}，试问：是否存在正整数m，使得数列{cn}的前m项的和Tm=2013？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．
（Ⅰ）证明：数列{an+1}为等比数列；
（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中数列{an}，若数列{bn}满足bn=log2（an+1）（n∈N*），在bk与bk+1之间插入2k-1（k∈N*）个2，得到一个新的数列{cn}，试问：是否存在正整数m，使得数列{cn}的前m项的和Tm=2013？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．
考点：数列递推式
专题：等差数列与等比数列
分析：（Ⅰ）在数列递推式中取n=n+1得到另一递推式，作差后变形得到
=2，即说明数列{an+1}为等比数列；
（Ⅱ）直接由数列{an+1}为等比数列写出其通项公式，则可得到数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）把数列{an}的通项公式代入bn=log2（an+1），得到数列{bn}的通项公式，由题意求得数列{cn}中，bk（含bk项）前的所有项的和，然后求出使得数列{cn}的前m项的和Tm=2013的m值．
| an+1+1 |
| an+1 |
（Ⅱ）直接由数列{an+1}为等比数列写出其通项公式，则可得到数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）把数列{an}的通项公式代入bn=log2（an+1），得到数列{bn}的通项公式，由题意求得数列{cn}中，bk（含bk项）前的所有项的和，然后求出使得数列{cn}的前m项的和Tm=2013的m值．
解答：
（Ⅰ）证明：由Sn=2an-n，得Sn+1=2an+1-（n+1），
∴an+1=2an+1-2an-1，an+1=2an+1，
则an+1+1=2（an+1），
∴
=2．
又当n=1时，S1=2a1-1，得a1=1，a1+1=2．
∴数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得an+1=（a1+1）2n-1=2n，故an=2n-1．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得bn=log22n，即bn=n（n∈N*）．
数列{cn}中，bk（含bk项）前的所有项的和是：
（1+2+3+…+k）+（20+21+22+…+2k-2）2=
+2k-2．
当k=10时，其和是55+210-2=1077＜2013．
当k=11时，其和是66+211-2=2112＞2013．
又∵2013-1077=936=468×2，是2的倍数，
∴当m=10+（1+2+22+…+28）+468=989时，Tm=2013．
∴存在m=989，使得Tm=2013．
∴an+1=2an+1-2an-1，an+1=2an+1，
则an+1+1=2（an+1），
∴
| an+1+1 |
| an+1 |
又当n=1时，S1=2a1-1，得a1=1，a1+1=2．
∴数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得an+1=（a1+1）2n-1=2n，故an=2n-1．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得bn=log22n，即bn=n（n∈N*）．
数列{cn}中，bk（含bk项）前的所有项的和是：
（1+2+3+…+k）+（20+21+22+…+2k-2）2=
| k(k+1) |
| 2 |
当k=10时，其和是55+210-2=1077＜2013．
当k=11时，其和是66+211-2=2112＞2013．
又∵2013-1077=936=468×2，是2的倍数，
∴当m=10+（1+2+22+…+28）+468=989时，Tm=2013．
∴存在m=989，使得Tm=2013．
点评：本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，对于（Ⅲ）的理解是解答此题的关键，属中高档题．
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