Question

19．已知如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，对角线AC，BD交于点E，直线AP是圆O的切线，切点为A，∠PAB=∠BAC．
（1）若BD=5，BE=2，求AB的长；
（2）在AD上取一点F，若∠FED=∠CED，求∠BAF+∠BEF的大小．

Answer 1

分析 （1）证明△ABD∽△EBA，可得证明AB²=BD•BE，即可求AB的长；
（2）证明∠BAF+∠BEF=∠BAD+∠BEF=∠FED+∠BEF=180°，即可得出结论．

解答 解：（1）∵AP是圆O的切线，
∴∠PAB=∠ADB，
由∠PAB=∠BAC，
∴∠ADB=∠BAC．
又∠ABD=∠EBA，
∴△ABD∽△EBA，
∴$\frac{AB}{EB}=\frac{BD}{AB}$．
又BD=5，BE=2，
∴AB²=BD•BE=10，∴$AB=\sqrt{10}$．
（2）由（1）知，∠BAD=∠BEA，
∵∠BEA=∠CED=∠FED，
∴∠BAD=∠FED，
∴∠BAF+∠BEF=∠BAD+∠BEF=∠FED+∠BEF=180°．

点评 本题考查三角形相似的证明，考查角的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．