Question

17．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的短轴长为2，它的一个焦点恰好是抛物线y²=4x的焦点．
（1）求椭圆的方程；
（2）若上述椭圆的左焦点到直线y=x+m的距离等于$\sqrt{2}$，求该直线的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意可得b=1，求得抛物线的焦点，可得c=1，由a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$，可得a，进而得到椭圆方程；
（2）求得椭圆的左焦点，运用点到直线的距离公式，可得m，进而得到直线方程．

解答 解：（1）椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的短轴长为2，可得b=1，
由抛物线y²=4x的焦点（1，0），可得c=1，
则a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
可得椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）由椭圆的左焦点（-1，0）到直线y=x+m的距离等于$\sqrt{2}$，
可得d=$\frac{|-1-0+m|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
解得m=3或-1．
则所求直线方程为y=x+3或y=x-1．

点评 本题考查椭圆方程的求法，注意运用抛物线的焦点，考查点到直线的距离公式的运用，以及运算能力，属于基础题．