Question

如图，在半径为

3

，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M，N在OB上，设矩形PNMQ的面积为y．
（1）设∠POB=θ，求y表示成θ的函数；
（2）请根据你在（1）中写出的函数解析式，求出y的最大值．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用,函数解析式的求解及常用方法,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）直接利用解直角三角形知识求出关系式．注意定义域的范围．
（2）利用（1）的结论对关系式进行恒等变换，变换成正弦型函数，最后利用定义域求函数的值域．

解答： （本题满分12分）
解：（1）在Rt△PON中，∠PNO=90°，∠POB=θ，PO=

3

所以PN=

3

sinθ，ON=

3

cosθ
在Rt△QMO中，∠QMO=90°，∠QON=60°，QM=PN=

3

sinθ

所以OM=

QM

tan∠QON

=

3 sinθ

tan60°

=sinθ

所以：MN=ON-OM=

3

cosθ-sinθ
所以y=PN•NM=

3

sinθ(

3

cosθ-sinθ)
即：y=3sinθcosθ-

3

sin²θ（0＜θ＜

π

3

）
（2）由（1）得
y=3sinθcosθ-

3

sin²θ
=

3

2

sin2θ-

3

1-cos2θ

2

=

3

(sin2θcos

π

6

+cos2θsin

π

6

）-

3

2

=

3

sin(2θ+

π

6

)-

3

2

由于：0＜θ＜

π

3

π

6

＜2θ+

π

6

＜

5π

6

1

2

＜sin(2θ+

π

6

)≤1
所以：0＜

3

sin(2θ+

π

6

)-

3

2

≤

3

2

即：0＜y≤

3

2

最大值为：

3

2

点评：本题考查的知识要点：解直角三角形和三角关系式的恒等变换，利用定义域求函数的值域，属于基础题型．