Question

求函数f（x）=x²+2ax+1在区间[-1，1]的最大值．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值

专题：函数的性质及应用

分析：首先把二次函数的一般式转化成顶点式，然后根据不定对称轴和定区间的关系分五种情况进行讨论得到具体的结果．

解答： 解：函数f（x）=x²+2ax+1=（x+a）²+1-a²
则：函数为开口方向向上，对称轴为x=-a的抛物线
①当a=0时，f（x）_max=f（1）=2，
②当-1＜a＜0时，f（x）_max=f（1）=2+2a，
③当0＜a＜1时，f（x）_max=f（-1）=2-2a，
④当a≤-1时，函数在定义域内为单调递增函数，f（x）_max=f（1）=2+2a，
⑤当a≥1时，函数在定义域内为单调递减函数，f（x）_max=f（-1）=2-2a，
综上所述：①当a=0时，f（x）_max=f（1）=2
②当-1＜a＜0时，f（x）_max=f（1）=2+2a
③当0＜a＜1时，f（x）_max=f（-1）=2-2a，
④当a≤-1时，f（x）_max=f（1）=2+2a，
⑤当a≥1时，f（x）_max=f（-1）=2-2a，
故答案为：①当a=0时，f（x）_max=f（1）=2，
②当-1＜a＜0时，f（x）_max=f（1）=2+2a，
③当0＜a＜1时，f（x）_max=f（-1）=2-2a，
④当a≤-1时，f（x）_max=f（1）=2+2a，
⑤当a≥1时，f（x）_max=f（-1）=2-2a．

点评：本题考查的知识点：二次函数的顶点式与一般式的互化，二次函数对称不固定区间固定的讨论及相关的运算问题．