Question

如图，直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2AD＝4，点E，F分别是AB，CD的中点，点G在EF上，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF.

(1)当AG＋GC最小时，求证：BD⊥CG；

(2)当2V_B－ADGE＝V_D－GBCF时，求二面角D－BG－C的余弦值．

Answer 1

解：(1)∵点E，F分别是AB，CD的中点，

∴EF∥BC，又∠ABC＝90°，

∴AE⊥EF，∵平面AEFD⊥平面EBCF，

∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE，又BE⊥EF，

如图，建立空间直角坐标系E－xyz.

翻折前，连接AC交EF于点G，此时点G使得AG＋GC最小．

EG＝BC＝2，又知EA＝EB＝2，

则A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,4,0)，D(0,2,2)，

E(0,0,0)，G(0,2,0)，

∴BD⊥CG.

(2)设EG＝k，

∵AD∥平面EFCB，∴点D到平面EFCB的距离即为点A到平面EFCB的距离．

∵S_{四边形GBCF}＝[(3－k)＋4]×2＝7－k，

∴V_D－GBCF＝·S_{四边形GBCF}·AE＝(7－k)．

又V_B－ADGE＝S_{四边形ADGE}·BE＝(2＋k)，

2V_B－ADGE＝V_D－GBCF，∴(2＋k)＝(7－k)，

∴k＝1，即EG＝1.

∵所求二面角D－BG－C的平面角为锐角，

∴此二面角的余弦值为.

解法二：过点D作DH⊥EF，垂足为H，过点H作BG延长线的垂线HO，垂足为O，连接OD.

∵平面AEFD⊥平面EBCF，

∴DH⊥平面EBCF，∴OD⊥OB，

∴∠DOH就是二面角D－BG－C的一个平面角．

由于HG＝1，在△OHG中，OH＝，

又DH＝2，在△DOH中，

tan∠DOH＝＝，

∴cos ∠DOH＝，

∴此二面角的余弦值为.