Question

9．已知集合M是同时满足下列条件的函数f（x）的全体：①f（x）的定义域为（0，+∞）；②对任意的正实数x，都有f（x）=f（${\frac{1}{x}}$）成立．
（1）设函数f（x）=$\frac{x}{{1+{x^2}}}$（x＞0），证明：f（x）属于集合M，且存在定义域为[2，+∞）的函数g（x），使得对任意的正实数x，都有g（x+$\frac{1}{x}}$）=f（x）成立；
（2）对于集合M中的任意函数f（x），证明：存在定义域为[2，+∞）的函数g（x），使得对任意的正实数x，都有g（x+$\frac{1}{x}}$）=f（x）成立．

Answer 1

分析 （1）函数f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{\frac{1}{x}}{1+（\frac{1}{x}）^{2}}$=$\frac{x}{{1+{x^2}}}$=f（x）．故满足①②．
（2）对任意的正实数x，f（x）=$\frac{x}{{1+{x^2}}}$=$（\frac{1+{x}^{2}}{x}）^{-1}$=$（\frac{1}{x}+x）^{-1}$=g（x+$\frac{1}{x}}$），⇒g（x）=$\frac{1}{x}$，∵$x+\frac{1}{x}≥2$．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{x}{{1+{x^2}}}$（x＞0），满足：①f（x）的定义域为（0，+∞）；
又∵函数f（$\frac{1}{x}$）=$\frac{\frac{1}{x}}{1+（\frac{1}{x}）^{2}}$=$\frac{x}{{1+{x^2}}}$=f（x）．故满足②对任意的正实数x，都有f（x）=f（${\frac{1}{x}}$）成立．
∴f（x）属于集合M．
（2）对任意的正实数x，f（x）=$\frac{x}{{1+{x^2}}}$=$（\frac{1+{x}^{2}}{x}）^{-1}$=$（\frac{1}{x}+x）^{-1}$=g（x+$\frac{1}{x}}$），⇒g（x）=$\frac{1}{x}$，∵$x+\frac{1}{x}≥2$，
即存在定义域为[2，+∞）的函数g（x），使得对任意的正实数x，都有g（x+$\frac{1}{x}}$）=f（x）成立．

点评 本题考查了抽象函数的解析式及定义域，理解函数的三要素的含义是关键，属于基础题．