Question

已知双曲线的中心在原点，F₁、F₂为左、右焦点，且在坐标轴上，离心率为

2

，又双曲线过点（4，-

10

）．
（1）求此双曲线的方程；
（2）若点M（3，m）在此双曲线上，证明：F₁M⊥F₂M；
（3）在（2）的条件下，求△F₁MF₂的面积．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,证明题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）双曲线方程为x²-y²=λ，点代入求出参数λ的值，从而求出双曲线方程，
（2）先求出

MF1

•

MF2

的坐标，把点M（3，m）代入双曲线，可得出

MF1

•

MF2

=0，即可证明．
（3）求出三角形的高，即|m|的值，运用三角形的面积公式可得其面积．

解答： （1）解：由离心率e=

2

，则c=

2

a，b=

c2-a2

=a，
可设所求双曲线方程为x²-y²=λ（λ≠0）
则由点（4，-

10

）在双曲线上，
知λ=4²-（-

10

）²=6
则双曲线方程为x²-y²=6；
（2）证明：若点M（3，m）在双曲线上，
则3²-m²=6∴m²=3，
由双曲线x²-y²=6，知F₁（-2

3

，0），F₂（2

3

，0），
又

MF1

=（-2

3

-3，-m），

MF2

=（2

3

-3，-m），
则

MF1

•

MF2

=（-2

3

-3）（2

3

-3）+m²=9-12+3=0，
则有F₁M⊥F₂M；
（3）解：△F₁MF₂的面积为S=

1

2

×2c•|m|=c|m|=2

3

×

3

=6．

点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．解答的关键是对双曲线标准方程的理解和向量运算的应用．