题目内容
【题目】已知椭圆
的两个焦点为
，
，椭圆上一动点
到
，
距离之和为4，当到
轴上的射影恰为时，
，左、右顶点分别为
，
，
为坐标原点，经过点的直线
与椭圆
交于
，
两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）记
与
的面积分别为
，
，求
的最大值.
【答案】（1）椭圆
的方程为：
（2）
的最大值为
【解析】
（1）先根据椭圆的定义得
，再由
到
轴上的射影恰为
时，
得关于
的方程，最后结合椭圆中
，解方程组即可求解.
（2）根据题意设直线
的方程为：
，与椭圆方程联立，得到两根和、两根积，再将整理为韦达定理的形式，代入化简即可求解.
解：（1）由题意知：
，所以 ①，
又
，且
，
所以 
②，
又③，
由①②③得：
，
所以椭圆的方程为：.
（2）由题意直线过点
，且斜率不为0，
所以设直线的方程为：
，
联立
得：
，
设点
，
则
，
因为
，
，
所以
，
又
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立，
所以的最大值为.
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