Question

【题目】已知四棱锥，底面为正方形，且底面，过的平面与侧面的交线为，且满足（表示的面积）.

（1）证明： 平面；

（2）当时，二面角的余弦值为，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（1）由正方形性质可得，从而得平面 ，根据线面平行的性质定理可得，由三角形中位线定理可得，进而根据线面平行的判定定理可得平面；（2）∵底面为正方形，且底面， 两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系，设， ，分别求出平面的一个法向量及平面 的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得，从而可得结果.

试题解析：（1）由题知四边形ABCD为正方形

∴AB//CD，又平面PCD，AB平面PCD

∴AB//平面PCD

又AB平面ABFE，平面ABFE∩平面PCD=EF

∴EF // AB，又AB//CD

∴EF //CD，

由S△PEF：S四边形CDEF=1:3知E、F分别为PC、PD的中点

连接BD交AC与G，则G为BD中点，

在△PBD中EG为中位线，∴ EG//PB

∵ EG//PB，EG平面ACE，PB平面ACE

∴PB//平面ACE.

（2）∵底面ABCD为正方形，且PA⊥底面ABCD，

∴PA、AB、AD两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系A-xyz，

设AB=AD=2a，AP=2b，则A（0，0，0），D（0，2a，0），C（2a，2a，0）

G（a，a，0），P（0，0，2b），F（a，a，b），

∵PA⊥底面ABCD，DG底面ABCD，∴DG⊥PA ，

∵四边形ABCD为正方形∴AC⊥BD,即DG⊥AC，AC∩PA=A

∴DG⊥平面CAF，

∴平面CAF的一个法向量为

设平面AFD的一个法向量为而

由得 取可得

为平面AED的一个法向量，

设二面角C—AF—D的大小为

则得

又 ∴

∴当二面角C—AF—D的余弦值为时.

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.