Question

【题目】如图，在三棱锥中，为的中点，为的中点，为的中点，，，平面.

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）先结合线面平行的判定定理，证得平面和平面，再利用面面平行的判定定理，即可证得平面平面；

（2）以为坐标原点，向量，，方向分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量和，利用向量的夹角公式，即可求解.

（1）在中，因为，，可得，

在中，因为，，可得，

因为平面，平面，所以平面，

又因为平面，平面，所以平面，

因为，平面，平面，

所以平面平面.

（2）如图所示，连，由，，则，

在中，，可得，，

因为平面，可得，，两两垂直，以为坐标原点，向量，，方向分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系.

则，，，，，，.

所以，，，

设平面的法向量为，则，

取，，，可得平面的一个法向量为，

设平面的法向量为，则，

取，，，有可得平面的一个法向量为，

又由，，，可得，

故二面角的余弦值为.