题目内容
【题目】已知椭圆Γ：
的左，右焦点分别为F1(
，0)，F2(
，0)，椭圆的左，右顶点分别为A，B，已知椭圆Γ上一异于A，B的点P，PA，PB的斜率分别为k1，k2，满足
.
（1）求椭圆Γ的标准方程；
（2）若过椭圆Γ左顶点A作两条互相垂直的直线AM和AN，分别交椭圆Γ于M，N两点，问x轴上是否存在一定点Q，使得∠MQA=∠NQA成立，若存在，则求出该定点Q，否则说明理由.
【答案】（1）
（2）存在；定点
【解析】
（1）设
，根据题意可得
，结合椭圆的方程化简可得
，再由
即可求解.
（2）根据设直线
和
的方程分别为
和
，将直线方程与椭圆方程联立求出
、
，设
轴上存在一定点
，使得
成立，则
，利用两点求斜率化简即可求得.
解：（1）设，
，
，
则
.
椭圆
的标准方程为.
（2）由（1）可知左顶点
，且过点
的直线和的斜率存在，
设直线和的方程分别为和，
设
，
联立
，
直线和椭圆交于
两点，
，
，
同理
.
设轴上存在一定点，使得成立，则，
，则
，
，
即
，解得
.
因此轴上存在一定点，使得成立.
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