Question

已知函数f（x）=x•ㄧxㄧ-2x．
（Ⅰ）求函数f（x）的零点；
（Ⅱ）画出y=f（x）的图象，并结合图象写出f（x）=m有三个不同实根时，实数m的取值范围；
（Ⅲ）写出函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系,函数单调性的判断与证明

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）由f（x）=0，可得x•ㄧxㄧ-2x=0，即可求出函数f（x）的零点；
（Ⅱ）y=f（x）=

(x-1)2-1，x≥0 -(x+1)2+1，x＜0

，可得图象；根据图象，可得f（x）=m有三个不同实根时，实数m的取值范围；
（Ⅲ）利用图象，可得函数f（x）的单调区间．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=0，可得x•ㄧxㄧ-2x=0，所以x=0或±2，即函数f（x）的零点为0或±2；
（Ⅱ）y=f（x）=

(x-1)2-1，x≥0 -(x+1)2+1，x＜0

，图象如图所示，
根据图象，f（x）=m有三个不同实根时，实数m的取值范围是（-1，1）；
（Ⅲ）函数f（x）的单调增区间为（∞，-1），（1，+∞）；单调减区间为[-1，1]．

点评：本题考查函数的图象与性质，考查函数的零点，正确作出函数的图象是关键．