Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，M是PD的中点．

（1）求证：平面ABM⊥平面PCD；
（2）求直线CD与平面ACM所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵PA⊥平面ABCD．∴PA⊥AB

又 底面ABCD是矩形，

∴AB⊥AD 且PA∩AD=A．

∴AB⊥平面PAD

∴AB⊥PD

∵PA=AD，M是PD的中点，

∴AM⊥PD

又AM∩AB=A

∴PD⊥平面ABM

又PD平面PCD

∴平面ABM⊥平面PCD．

（2）解：由题AB⊥AP，AB⊥AD，AD⊥AP．

分别以AB，AD，AP方向为x、y、z轴建立空间直角坐标系．

∴C（2，4，0），D（0，4，0），P（0，0，4），

M 为PD 中点，∴M（0，2，2）

∴ ， ，

设平面ACM的法向量为

即

取x=2，得法向量

记直线CD与平面ACM所成角为θ，

则 = =

故直线CD与平面ACM所成角的正弦值为 ．

【解析】（1）根据面面垂直判定定理，需先证得线面垂直，故证明PD⊥平面ABM．（2）建立空间直角坐标系，运用向量法求解线面所成角．
【考点精析】利用平面与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．