Question

【题目】已知函数，为的导数.

(1)讨论函数的零点个数；

(2)若函数的定义域内不单调且在上单调递减，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析 （2）

【解析】试题分析：

(1)原问题等价于函数和图象的交点的个数，分类讨论可得：时，无零点；或时，有一个零点；时，有两个零点.

(2)结合(1)的结论，利用导函数列表分类讨论函数的单调性可得实数的取值范围是.

试题解析：

(1)，

令得即，所以函数的零点个数等价于两函数和图象的交点的个数，

设两者相切时切点为，则由且，

得.

由图可知时，两函数图象无交点，无零点；

<>或时，两函数图象有一个交点，有一个零点；

时，两函数图象有两个交点，有两个零点.

解法二：，

令得即，所以，所以函数的零点个数等价于两函数与的交点个数.

因为，

所以时，，递增；时，，递减且，

时，有极大值，

如图所示，由图可知，两函数图象无交点，无零点；

或时，两函数图象有一个交点，有一个零点；

时，两函数图象有两个交点，有两个零点.

解法三：直接由的导函数判断原函数的单调性及零点，因为函数取正值或负值时的特殊值不易找，请谨慎处理，如果仅仅交代单调性而不说明零点存在定理的条件(即)中的的、或者只用限说明的，要酌情扣分。

(2)解法1：由(1)知时，无零点或一个零点，，函数在定义域内单调递减，函数在定义域内不单调时，.

在上单调递减时，，即，亦等价于时，，

.

①当时，，递增，不合题意；

②当时，，此时，递减，

时，，由得，解得，

所以；

③当时，，时，由表可知时，取最大值，最大值为，不合题意.

	正	0	负
	增	极大值	减

综上可知.

解法二：由(1)知时，无零点或一个零点，，函数在定义域内单调递减，函数在定义域内不单调时，.

在上单调递减时，，即恒成立；

由得，令，则恒成立，

因为，所以时，单调递减，

，由恒成立得，解得.

综上可得.