Question

【题目】在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足 + =4cosC． （Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若tanA=2tanB，求sinA的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）已知等式整理得： =4cosC，即 =2abcosC， 由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ = ，
即 =2，
利用正弦定理化简得： = =2；
（Ⅱ）∵tanA=2tanB，
∴ ，则sinAcosB=2sinBcosA，
∴a =2b ，
化简得，3a2﹣3b2=c2 ，
联立a2+b2=2c2得，a 、 ，
由余弦定理得，cosA= = = ，
由0＜A＜π得，sinA= ．
【解析】（Ⅰ）根据余弦定理和正弦定理化简已知的式子，即可求出式子的值；（Ⅱ）利用商的关系化简tanA=2tanB，再根据余弦定理和正弦定理化简得到等式，联立（1）的结论求出a、b、c的关系，利用余弦定理求出cosA，再由内角的范围和平方关系求出sinA的值．