Question

9．在等差数列{a_n}中，已知第10项等于17，前10项的和等于80．从该数列中依次取出第3项、第3²项…第3ⁿ项，并按原来的顺序组成一个新数列{b_n}．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （I）利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得出．
（Ⅱ）${b_n}={a_{3^n}}=2•{3^n}-3$，再利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ） 由已知，设{a_n}公差为d，∵第10项等于17，前10项的和等于80，则$\left\{\begin{array}{l}{a_{10}}={a_1}+9d=17\\{S_{10}}=10{a_1}+45d=80\end{array}\right.$，解得  a₁=-1，d=2，
∴a_n=-1+2（n-1）=2n-3．
（Ⅱ）${b_n}={a_{3^n}}=2•{3^n}-3$，
∴T_n=b₁+b₂+…b_n=2（3+3²+…+3ⁿ）-3n=$\frac{{6（1-{3^n}）}}{1-3}-3n$=3ⁿ⁺¹-3n-3．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．