Question

20．已知等比数列[a_n}满足2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中项．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$+log₂$\frac{1}{{a}_{n}}$，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n+35＜0成立的n的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列和等比数列的性质即可求出数列{a_n}的通项公式，
（2）先化简b_n，再分别根据等比数列和等差数列的前n项和公式和放缩法即可求出n的最小值．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，依题意：有2a₁+a₁q²=3a₁q，
解得q=1或q=2，
∵a₃+2是a₂，a₄的等差中项，
∴2a₃+4=a₂+a₄，
即2a₁q²+4=a₁q+a₁q³，
当q=1时，不成立，
当q=2时，a₁=2，
∴a_n=2ⁿ，
（2）b_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$+log₂$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$-n，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$）-（1+2+3+…+n）=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n（n+1）}{2}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n（n+1）}{2}$
∵S_n+35＜0，
∴1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n（n+1）}{2}$+35＜0，
∴$\frac{1}{{2}^{n}}$+$\frac{n（n+1）}{2}$＞36恒成立，
∴$\frac{n（n+1）}{2}$≥36恒成立，
∴n（n+1）≥72，
解得n≥8，
∴使S_n+35＜0成立的n的最小值是8．

点评 本题考查了等比数列和等差的数列的性质以及前n项和公式以及数列和不等式的关系，属于中档题．