Question

18．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=ln（n+1）-a．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=e${\;}^{{a}_{n}}$（e为自然对数的底数），定义：$\underset{\stackrel{n}{π}}{k=1}$b_k=b₁•b₂•b₃•…•b_n，求$\underset{\stackrel{n}{π}}{k=1}$b_k．

Answer 1

分析 （1）对a分类讨论，利用递推关系即可得出．
（2）对a分类讨论，利用“累乘求积”即可得出

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=ln2-a；当n≥2且n∈N^*时，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=ln（{n+1}）-a-（{lnn-a}）=ln（{n+1}）-a-lnn+a=ln（{n+1}）-lnn=ln\frac{n+1}{n}$，
当a=0时，a₁=ln2，适合此等式，当a≠0时，a₁=ln2-a≠ln2，不适合此等式，
∴当a=0时，${a_n}=ln\frac{n+1}{n}（{n∈{N^*}}）$；当a≠0时，${a_n}=\left\{\begin{array}{l}ln2-a，n=1\\ ln\frac{n+1}{n}，n≥2\end{array}\right.$．
（2）当a=0时，${b_n}={e^{a_n}}={e^{ln\frac{n+1}{n}}}=\frac{n+1}{n}$，
∴$\underset{\stackrel{n}{π}}{k=1}$b_k=b₁•b₂•b₃•…•b_n=$\frac{2}{1}×\frac{3}{2}×\frac{4}{3}$×…×$\frac{n+1}{n}$=n+1．
当a≠0时，${b_n}={e^{a_n}}=\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{e^a}，n=1\\ ln\frac{n+1}{n}，n≥2\end{array}\right.$，
∴$\underset{\stackrel{n}{π}}{k=1}$b_k=b₁•b₂•b₃•…•b_n=$\frac{2}{{e}^{a}}$×$\frac{3}{2}×\frac{4}{3}$×…×$\frac{n+1}{n}$=$\frac{n+1}{{e}^{a}}$．
综上，$\underset{\stackrel{n}{π}}{k=1}$b_k=$\frac{n+1}{{e}^{a}}$．

点评 本题考查了递推关系、“累乘求积”、对数运算性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．