Question

画出函数f（x）=cosx+xsinx的大致图象．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象

专题：函数的性质及应用,三角函数的图像与性质

分析：先求f′（x）=xcosx，设g（t）=f′（t）=tcost，由g（t）为奇函数，可得f（x）在（-

π

2

，0）内单调递减，在（0，

π

2

）内递增，又由f（-x）=-xsin（-x）+cos（-x）=xsinx+cosx=f（x）可得f（x）为偶函数，且f（-

π

2

）=-

π

2

，f（

π

2

）=

π

2

，f（0）=1，从而可画出函数f（x）=cosx+xsinx的大致图象．

解答： 解：f′（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx，
设g（t）=f′（t）=tcost
g（t）为奇函数，且t∈（0，

π

2

）时，cost＞0，此时g（t）＞0，
当t∈（-

π

2

，0）时，cost＞0，此时g（t）＜0，
所以在（-

π

2

，

π

2

）内g（t）=tcost的图象大致为：

所以f（x）在（-

π

2

，0）内单调递减，在（0，

π

2

）内递增．
f（x）=xsinx+cosx
f（-x）=-xsin（-x）+cos（-x）=xsinx+cosx=f（x）
∴f（x）为偶函数，
f（-

π

2

）=-

π

2

，f（

π

2

）=

π

2

，f（0）=1
∴f（x）=xsinx+cosx的图象大致为：

点评：本题主要考查了两角和与差的正弦函数，三角函数的图象与性质，五点法作图，考查了转化思想，综合性较强，属于中档题．