Question

16．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，PA⊥平面ABCD．点Q在PA上，且PA=4PQ=4．∠CDA=∠BAD=$\frac{π}{2}$，AB=2，CD=1，AD=$\sqrt{2}$．M，N分别为PD，PB的中点．
（Ⅰ）求证：MQ∥平面PCB；
（Ⅱ）求截面MCN与底面ABCD所成的锐二面角的大小．

Answer 1

分析 （1）以A为原点建立坐标系，通过求出$\overrightarrow{MQ}$和$\overrightarrow{CN}$的坐标得出MQ∥CN，从而求的MQ∥平面PBC；
（2）求出平面CMN的法向量$\overrightarrow{n}$，又$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）为平面ABCD的法向量，计算cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞的值即可得出二面角的大小．

解答 （I）证明：以A为原点建立空间直角坐标系如图所示：
则A（0，0，0），B（0，2，0），C（$\sqrt{2}$，1，0），P（0，0，4），Q（0，0，3），D（$\sqrt{2}$，0，0），
∵M，N是PD，PB的中点，∴M（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，2），N（0，1，2），
∴$\overrightarrow{MQ}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，1），$\overrightarrow{CN}$=（-$\sqrt{2}$，0，2），
∴$\overrightarrow{MQ}∥$$\overrightarrow{CN}$，
∴MQ∥CN，又MQ?平面PBC，CN?平面PBC，
∴MQ∥平面PCB．
（II）解：$\overrightarrow{CM}$=（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-1，2），
设平面CMN的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CM}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CN}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{\sqrt{2}}{2}x-y+2z=0}\\{-\sqrt{2}x+2z=0}\end{array}\right.$，令x=$\sqrt{2}$得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{2}$，1，1）．
∵PA⊥平面ABCD，
∴$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）为平面ABCD的一个法向量，
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{π}{3}$．
∴截面MCN与底面ABCD所成的锐二面角的大小为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．