Question

17．求下列函数的值域：
（1）y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$；
（2）y=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$．

Answer 1

分析 （1）利用换元法，结合根式函数和对数函数的单调性的性质，进行求解即可．
（2）根据分式函数的性质，利用分子常数化，结合指数函数的性质进行求解．

解答 解：（1）设t=$\sqrt{4-{x}^{2}}$，则t∈（0，2]，
∵y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$t在（0，2]上是减函数，∴y≥log${\;}_{\frac{1}{2}}$2=-1，
即函数的值域为[-1，+∞）．
（2）y=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$=$\frac{{2}^{x}-1+2}{{2}^{x}-1}$=1+$\frac{2}{{2}^{x}-1}$，
当2^x＞1时，2^x-1＞0，则$\frac{2}{{2}^{x}-1}$＞0，1+$\frac{2}{{2}^{x}-1}$＞1，
当0＜2^x＜1时，-1＜2^x-1＜0，则$\frac{2}{{2}^{x}-1}$＜-2，1+$\frac{2}{{2}^{x}-1}$＜-1，
即y＞1或y＜-1，
即函数的值域为（-∞，-1）∪（1，+∞）．

点评 本题主要考查函数值域的求解，利用换元法以及分子常数化将函数进行转化，利用对数函数和指数函数的单调性的性质进行求解是解决本题的关键．