Question

9．当实数a在区间[1，m]（m＞1）随机取值时，函数f（x）=-x²+ax+2在区间（1，+∞）上是单调减函数的概率为$\frac{1}{3}$，则实数m=4．

Answer 1

分析 由题意，本题属于几何概型的概率求法，由此只要求出所有事件的区域长度以及满足条件的a的范围对应的区域长度，利用几何概型概率公式可求．

解答 解：∵函数f（x）=-x²+ax+2在区间（1，+∞）上是单调减函数，
∴$\frac{a}{2}$≤1，
∴a≤2，
∵实数a在区间[1，m]（m＞1）随机取值，
∴1≤a≤2，长度为1，
∵函数f（x）=-x²+ax+2在区间（1，+∞）上是单调减函数的概率为$\frac{1}{3}$，
∴1≤a≤m，长度为3，
∴m=4．
故答案为：4．

点评 本题主要考查几何概型，考查二次函数的单调性，正确求出函数f（x）=-x²+ax+2在区间（1，+∞）上是单调减函数时a的范围是关键．