Question

12．已知函数f（x）=e^x-ax-a，e为自然对数的底数
（1）若x∈R，不等式f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（2）求证：n∈N^*，不等式$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$＞$\frac{{e}^{n}-1}{{e}^{n+1}-{e}^{n}}$恒成立．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=e^x-ax-a，求出导数f'（x）=e^x-a，从而化恒成立问题为最值问题，讨论a=0，a＜0，a＞0，求实数a的取值范围；
（2）由（1）和已知可得，e^x≥x+1，可得．n∈N^*时，eⁿ＞n+1，即$\frac{1}{n+1}$＞$\frac{1}{{e}^{n}}$．由等比数列的求和公式和累加法，即可得证．

解答 解：（1）由f（x）=e^x-ax-a，f'（x）=e^x-a，
若a＜0，则f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x趋近于负无穷大时，f（x）趋近于负无穷大；
当x趋近于正无穷大时，f（x）趋近于正无穷大，
故a＜0不满足条件．
若a=0，f（x）=e^x≥0恒成立，满足条件．
若a＞0，由f'（x）=0，得x=lna，
当x＜lna时，f'（x）＜0；当x＞lna时，f'（x）＞0，
所以函数f（x）在（-∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）在x=lna处取得极小值f（lna）=e^lna-a•lna-a=-a•lna，
由f（lna）≥0得-a•lna≥0，
解得0＜a≤1．
综上，满足f（x）≥0恒成立时实数a的取值范围是[0，1]．
（2）证明：由（1）和已知可得，当a=1时，f（x）=e^x-x-1≥0恒成立，
即为e^x≥x+1，当且仅当x=0时，取得等号．
则n∈N^*时，eⁿ＞n+1，即$\frac{1}{n+1}$＞$\frac{1}{{e}^{n}}$．
又$\frac{1}{e}$+$\frac{1}{{e}^{2}}$+$\frac{1}{{e}^{3}}$+…+$\frac{1}{{e}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{e}（1-\frac{1}{{e}^{n}}）}{1-\frac{1}{e}}$=$\frac{{e}^{n}-1}{{e}^{n+1}-{e}^{n}}$，
则$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n+1}$＞$\frac{{e}^{n}-1}{{e}^{n+1}-{e}^{n}}$恒成立．

点评 本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用导数，判断单调性，求最值，考查不等式的证明，注意运用累加法和已知结论，考查化简整理的运算能力，属于中档题．