Question

8．已知数列{a_n}的通项公式为a_n=（-1）ⁿ（2n-1）
（1）求S₁，S₂，S₃；并猜想S_n
（2）利用数学归纳法证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）根据a_n=（-1）ⁿ（2n-1），可求S₁，S₂，S₃，S₄的值；
（2）由（1）猜想S_n的表达式，再根据数学归纳法的证题步骤进行证明．

解答 解：（1）依题设可得S₁=-1，S₂=-1+3=2，S₃=-1+3-5=-3，S₄=-1+3-5+7=4；
（2）猜想：S_n=（-1）ⁿ•n．
证明：①当n=1时，猜想显然成立．
②假设n=k时，猜想成立，即S_k=（-1）^k•k．
那么，当n=k+1时，S_k+1=（-1）^k•k+a_k+1=（-1）^k•k+（-1）^k+1（2k+1）=（-1）^k+1•（k+1）．
即n=k+1时，猜想也成立．
故由①和②，可知猜想成立．

点评 本题考查数列的性质和应用，第（1）问要注意递推公式的灵活运用，第二问要注意数学归纳法的证明技巧．