Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， 且满足12Sn﹣36=3n2+8n，数列{log3bn}为等差数列，且b1=3，b3=27．
（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令cn=（﹣1）n ，求数列{cn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（1）由题意得 ，∴a1= = ，

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1= ﹣ ﹣ + ﹣3= + ，

又 = ≠ ，

∴an= ．

设等差数列{log3bn}的公差为d，且b1=3，b3=27．

∴2d=log327﹣log33=3﹣1，解得d=1．

∴log3bn=log33+（n﹣1）=n，

∴bn=3n．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

当n=1， ．

当n≥2时，Tn=

= ，

当n为奇数时，

= ，n=1适合此式；

当n为偶数时，

= ，

综上，Tn=

【解析】（1）由题意得 ，可得a1= ，当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1．可得an．设等差数列{log3bn}的公差为d，且b1=3，b3=27．可得2d=log327﹣log33．可得bn．（Ⅱ）由（Ⅰ）得， 当n=1， ．当n≥2时，Tn=

= ，对n分类讨论即可得出．

【考点精析】关于本题考查的数列的前n项和和等差数列的性质，需要了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；在等差数列{an}中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；相隔等距离的项组成的数列是等差数列才能得出正确答案．