Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣2x+1，g（x）=2aln（x﹣1）（a∈R）．
（1）求函数h（x）=f（x）﹣g（x）的极值；
（2）当a＞0时，若存在实数k，m使得不等式g（x）≤kx+m≤f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得h（x）=（x﹣1）2﹣2aln（x﹣1），x＞1，

∴ ，

①当a≤0时，则h'（x）＞0，此时h（x）无极值；

②当a＞0时，令h'（x）＜0，则 ；令h'（x）＞0，则 ；

∴h（x）在 上递减，在 上递增；

∴h（x）有极小值 ，无极大值

（2）解：当a＞0时，有（1）知，h（x）在 上递减，在 上递增，且有极小值 ，

①当a＞e时， ，

∴ ，

此时，不存在实数k，m，使得不等式g（x）≤kx+m≤f（x）恒成立；

②当0＜a≤e时， ，f（x）=x2﹣2x+1在 处的切线方程为 ，

令 ，x＞1，

则 ，

∴ ，

令 = ，x＞1，

则 ，

令v'（x）＜0，则 ；令v'（x）＞0，则 ；

∴ =a（1﹣lna）≥0，

∴ ，

∴ ，

当 ， 时，不等式g（x）≤kx+m≤f（x）恒成立，

∴0＜a≤e符合题意；

由①，②得实数a的取值范围为（0，e]

【解析】（1）求出h（x），得出导函数，对参数a分类讨论即可；（2）结合（1）的讨论，当a＞0时，有（1）知，h（x）在 上递减，在 上递增，且有极小值 ，构造函数 ，

， = ，对参数a分类讨论即可．

【考点精析】本题主要考查了函数的极值与导数和函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．