Question

【题目】设函数 ．
（1）求f（x）的单调区间及最大值；
（2）讨论关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ = ，解f′（x）＞0，得 ；解f′（x）＜0，得 ．

∴函数f（x）的单调递增区间为 ；单调递减区间为 ．

故f（x）在x= 取得最大值，且

（2）解：函数y=|lnx|，当x＞0时的值域为[0，+∞）．如图所示：

①当0＜x≤1时，令u（x）=﹣lnx﹣ ﹣c，

c= =g（x），

则 = ．

令h（x）=e2x+x﹣2x2，则h′（x）=2e2x+1﹣4x＞0，∴h（x）在x∈（0，1]单调递增，

∴1=h（0）＜h（x）≤h（1）=e2﹣1．

∴g′（x）＜0，∴g（x）在x∈（0，1]单调递减．

∴c ．

②当x≥1时，令v（x）=lnx﹣ ，得到c=lnx﹣ =m（x），

则 = ＞0，

故m（x）在[1，+∞）上单调递增，∴c≥m（1）= ．

综上①②可知：当 时，方程|lnx|=f（x）无实数根；

当 时，方程|lnx|=f（x）有一个实数根；

当 时，方程|lnx|=f（x）有两个实数根．

【解析】（1）利用导数的运算法则求出f′（x），分别解出f′（x）＞0与f′（x）＜0即可得出单调区间及极值与最值；（2）分类讨论：①当0＜x≤1时，令u（x）=﹣lnx﹣ ﹣c，②当x≥1时，令v（x）=lnx﹣ ．利用导数分别求出c的取值范围，即可得出结论．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能得出正确答案．