Question

【题目】已知函数f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e为自然对数的底数．若不等式f（x）≤0恒成立，则 的最小值为 ．

Answer 1

【答案】﹣
【解析】解：∵函数f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e为自然对数的底数，

∴ ，x＞0，

当a≤e时，f′（x）＞0，

f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）≤0不可能恒成立，

当a＞e时，由 ，得x= ，

∵不等式f（x）≤0恒成立，∴f（x）的最大值为0，

当x∈（0， ）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

当x∈（ ，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

∴当x= 时，f（x）取最大值，

f（ ）=﹣ln（a﹣e）﹣b﹣1≤0，

∴ln（a﹣e）+b+1≥0，

∴b≥﹣1﹣ln（a﹣e），

∴ （a＞e），

令F（x）= ，x＞e，

F′（x）= = ，

令H（x）=（x﹣e）ln（x﹣e）﹣e，

H′（x）=ln（x﹣e）+1，

由H′（x）=0，得x=e+ ，

当x∈（e+ ，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数，

x∈（e，e+ ）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数，

∴当x=e+ 时，H（x）取最小值H（e+ ）=﹣e﹣ ，

∵x→e时，H（x）→0，x＞2e时，H（x）＞0，H（2e）=0，

∴当x∈（e，2e）时，F′（x）＜0，F（x）是减函数，

当x∈（2e，+∞）时，F′（x）＞0，F（x）是增函九，

∴x=2e时，F（x）取最小值，F（2e）= =﹣ ，

∴ 的最小值为﹣ ．

所以答案是：﹣ ．

【考点精析】关于本题考查的函数的最大(小)值与导数，需要了解求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能得出正确答案．