题目内容
2．已知数列{an}中．a1=$\frac{3}{5}$，an+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，则数列{an}的通项公式为an=$\frac{3}{6n-1}$．分析 将所给的式子变形得：-2an+1•an=an+1-an，两边除以an+1•an后，根据等差数列的定义，构造出新的等差数列{ $\frac{1}{{a}_{n}}$}，再代入通项公式求出 $\frac{1}{{a}_{n}}$，再求出an．
解答 解：由题意得an+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，则-2an+1•an=an+1-an，
两边除以an+1•an得，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以$\frac{5}{3}$为首项，2为公差的等差数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{5}{3}$+（n-1）×2=2n-$\frac{1}{3}$，
则an=$\frac{1}{2n-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{6n-1}$，
故答案为：an=$\frac{3}{6n-1}$．
点评 本题考查数列递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意构造法的合理运用，是中档题．
练习册系列答案
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12．函数y=x2-x+2在[a，+∞）上单调递增是函数y=ax为单调递增函数的（ ）
| A． | 充分不必要条件 | B． | 必要不充分条件 | ||
| C． | 充要条件 | D． | 既不充分又不必要条件 |