Question

已知数列{a_n}是首项a₁＞0，q＞-1且q≠0的等比数列，设数列{b_n}的通项b_n=a_n+1-ka_n+2（n∈N），数列{a_n}、{b_n}的前n项和分别为S_n，T_n．如果T_n＞kS_n对一切自然数n都成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和,等比数列的性质

专题：计算题

分析：由探寻T_n和S_n的关系入手谋求解题思路．首先利用数列}{b_n}与数列{a_n}的关系确定出数列}{b_n}的通项公式和前n项和，即用数列{a_n}的前n项和表示出数列}{b_n}的前n项和，通过不等式有关方法确定出实数k的取值范围．

解答： 解：因为{a_n}是首项a₁＞0，公比q＞-1且q≠0的等比数列，故
a_n+1=a_n•q，a_n+2=a_n•q²．
所以b_n=a_n+1-ka_n+2=a_n（q-k•q²）．
T_n=b₁+b₂+…+b_n=（a₁+a₂+…+a_n）（q-k•q²）=S_n（q-kq²）．
依题意，由T_n＞kS_n，得S_n（q-kq²）＞kS_n，①对一切自然数n都成立．
当q＞0时，由a₁＞0，知a_n＞0，所以S_n＞0；
当-1＜q＜0时，因为a₁＞0，1-q＞0，1-qⁿ＞0，所以Sn=

a1(1-qn)

1-q

＞0
综合上面两种情况，当q＞-1且q≠0时，S_n＞0总成立．
由①式可得q-kq²＞k②，即k＜

q

1+q2

，
因为-1＜q＜0，所以-

1

2

≤

q

1+q2

＜0，所以k＜-

1

2

；
故实数k的取值范围k＜-

1

2

．

点评：本题属于数列与不等式的综合问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识．解决本题的关键要建立两个数列前n项和的联系，通过不等式的分析确定出S_n的正负，简化不等式，得出关于实数k的不等式，考查分离变量思想确定字母取值范围的方法．