Question

已知方程2m²x²+2mx+1-m²=0（m＞1），求证：这个方程有一个正根和一个负根，且正根在（0，1）之间，负根在（-1，0）之间．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：第一步：令函数f（x）=2m²x²+2mx+1-m²（m＞1）；
第二步：计算f（-1）、f（0）、f（1）；
第三步：根据零点存在性定理及二次函数的图象，判断零点所在区间，即可得原方程实根所在区间．

解答： 证明：令函数f（x）=2m²x²+2mx+1-m²，
∵m＞1，∴f（x）为一元二次函数，且
f（-1）=2m²-2m+1-m²=（m-1）²＞0，
f（0）=1-m²＜0，
f（1）=2m²+2m+1-m²=（m+1）²＞0，
f（-1）•f（0）＜0，f（0）•f（1）＜0，
由零点存在性定理及二次函数的图象知，
方程2m²x²+2mx+1-m²=0（m＞1）有一个正根和一个负根，
且正根在（0，1）之间，负根在（-1，0）之间．

点评：本题较基础，主要考查了零点存在性定理，关键是理解方程的实根、函数的零点及函数图象与x轴交点的关系．