题目内容
17．已知两个向量$\overrightarrow{a}$=（1+log2x，log2x），$\overrightarrow{b}$=（log2x，1）（1）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，求实数x的值；
（2）求函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，x∈[$\frac{1}{4}$，2]的值域．
分析 （1）由向量垂直的条件：数量积为0，解方程即可得到x的值；
（2）运用向量的数量积的坐标表示，由对数函数的单调性可得t=log2x[-2，1]，再由二次函数的值域求法，即可得到．
解答 解：（1）$\overrightarrow{a}$=（1+log2x，log2x），$\overrightarrow{b}$=（log2x，1），
若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则（1+log2x）•log2x+log2x=0，
可得log2x=0或log2x=-2，
解得x=1或x=$\frac{1}{4}$；
（2）函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=（1+log2x）•log2x+log2x
=（log2x）2+2log2x，
令t=log2x，由x∈[$\frac{1}{4}$，2]，可得t∈[-2，1]，
即有函数y=t2+2t=（t+1）2-1，
当t=-1时，函数取得最小值-1；
当t=1时，函数取得最大值3．
则函数f（x）的值域为[-1，3]．
点评 本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，考查可化为二次函数的值域的求法，注意运用对数函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．
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