Question

已知函数f（x）=ax+

a-1

x

-lnx．
（1）当a≤

1

2

时，试讨论函数f（x）的单调性；
（2）证明：对任意的n∈N⁺，有

ln1

1

+

ln2

2

+…+

ln(n-1)

n-1

+

lnn

n

＜

n2

2(n+1)

．

Answer 1

考点：不等式的证明,函数单调性的判断与证明,数列的求和

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）分类讨论，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调性；
（2）证明lnn≤

1

2

（n-

1

n

），可得

lnn

n

≤

1

2

（1-

1

n2

），利用放缩法、裂项求和，即可证明结论．

解答： （1）解：∵f（x）=ax+

a-1

x

-lnx，
∴f′（x）=

(x-1)(ax+a-1)

x

（x＞0）
①a≤0时，f（x）在（0，1）是增函数，在（1，+∞）是减函数；     
②0＜a＜

1

2

时，f（x）在（0，1），（

1-a

a

，+∞）是增函数，在（1，

1-a

a

）是减函数； 
③a=

1

2

时，f（x）在（0，+∞）是增函数；
（2）证明：由（1）知a=

1

2

时，f（x）在（0，+∞）是增函数．
x≥1时，f（x）≥f（1）=0，
∴lnx≤

1

2

（x-

1

x

），
∴lnn≤

1

2

（n-

1

n

），
∴

lnn

n

≤

1

2

（1-

1

n2

），
∵

1

n2

＞

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴

ln1

1

+

ln2

2

+…+

ln(n-1)

n-1

+

lnn

n

＜

1

2

[n-（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

）]=

n2

2(n+1)

．

点评：本题是中档题，考查函数的导数的应用，不等式的综合应用，考查计算能力，转化思想的应用．