Question

已知数列{a_n}中的各项均为正数，且满足．记b_n=a_n²-a_n，数列{b_n}的前n项和为x_n，且．
（Ⅰ）数列{b_n}和{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）整理得a_n+1²-a_n+1=2（a_n²-a_n），代入b_n=a_n²-a_n，中进而可知数列{b_n}是公比和首项均为2的等比数列，公比为2，进而数列{b_n}的通项公式可得．把b_n代入b_n=a_n²-a_n，求得a_n．
（2）根据等比数列求和公式可求的x_n，进而可知f（x_n）的解析式．进而可求得结果小于进而可知，根据大于，进而根据等比数列求和公式可证明．
解答：解：（I），
∵b_n=a_n²-a_n，b_n+1=2b_n，
∴数列{b_n}是公比和首项均为2的等比数列，
∴b_n=2ⁿ，
即
（II）证明：因为等比数列{b_n}的前n项和，
所以f（x_n）=2ⁿ-1．
故，
所以
另一方面，
=
∴

∴
点评：本题主要考查了数列的递推式．数列的通项公式和求和问题与不等式、对数函数、幂函数等问题综合考查是近几年高考的热点题目．