Question

（2009•崇明县二模）已知数列{a_n}中的相邻两项a_2k-1，a_2k（k=1，2，3…）是关于x的方程x²-（4k+2+2^k）x+（2k+1）×2^k+1=0的两个根，且a_2k-1≤a_2k（k=1，2，3，…）．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（2）求数列{a_n}的通项a_n；
（3）求数列{a_n}的前n项的和S_n．

Answer 1

分析：（1）先将方程因式分解求出方程两个根，即求出a_2k-1与a_2k，然后分别令k=1和2，即可求出a₁，a₂，a₃，a₄的值；
（2）当k≤4，即n≤8时，奇数项是等比数列，偶数项是等差数列，当k≥5，即n≥9时，奇数项是等差数列，偶数项是等比数列，然后利用分段函数表示即可；
（3）当k≤4，即n≤8时，讨论n的奇偶，分别进行求和，当k≥5，即n≥9时，也讨论n的奇偶，分别进行求和，求和时特别注意项数．

解答：解：（1）由（x-（4k+2））（x-2^k）=0可知方程两根为4k+2，2^k k=1，a₁=2，a₂=6   k=2，a₃=4，a₄=10
（2）当k≤4，即n≤8时，an=

2 n+1 2 ，n为奇数 2n+2，n为偶数

当k≥5，即n≥9时，an=

2n+4，n为奇数 2 n 2 ，n为偶数

（3）当k≤4，即n≤8时，an=

2 n+1 2 ，n为奇数 2n+2，n为偶数

，
ⅰ）当n=2k，k∈N^•为偶数时，s_n=

2(1-2k)

1-2

+

k(6+4k+2)

2

=2^k+1-2+2k²+4k=2

n

2

+1-2+

n

2

2+2n
ⅱ）当n=2k-1，k∈N^•为奇数时，s_n=2

n-1

2

+1-2+

(n-1)

2

2+2(n-1)+2

n+1

2

=2

n+3

2

+

(n-1)

2

2+2n-4
当k≥5，即n≥9时，an=

2n+4，n为奇数 2 n 2 ，n为偶数

ⅰ）当n=2k，k∈N^*为偶数时，s_n=

2(1-2k)

1-2

+

k(6+4k+2)

2

=2^k+1-2+2k²+4k=2

n

2

+1-2+

n

2

2+2n
ⅱ）当n=2k-1，k∈N^•为奇数时，s_n=2

n-1

2

+1-2+

(n-1)

2

2+2(n-1)+2n+4=2

n+3

2

+

(n-1)

2

2+4n

点评：本题主要考查了解方程，以及等差数列和等比数列的通项公式和求和，同时考查了计算能力，属于综合题，有一定的难度．