Question

已知数列{a_n}中的各项均为正数，且满足a1=2，

an+1-1

an-1

=

2an

an+1

(n∈N*)．记b_n=a_n²-a_n，数列{b_n}的前n项和为x_n，且f(xn)=

1

2

xn．
（Ⅰ）数列{b_n}和{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：

n-1

2

＜

f(x1)

f(x2)

+

f(x2)

f(x3)

+…+

f(xn)

f(xn+1)

＜

n

2

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）整理

an+1-1

an-1

=

2an

an+1

得a_n+1²-a_n+1=2（a_n²-a_n），代入b_n=a_n²-a_n，中进而可知数列{b_n}是公比和首项均为2的等比数列，公比为2，进而数列{b_n}的通项公式可得．把b_n代入b_n=a_n²-a_n，求得a_n．
（2）根据等比数列求和公式可求的x_n，进而可知f（x_n）的解析式．进而可求得

f(xk)

f(xk+1)

结果小于

1

2

进而可知

f(x1)

f(x2)

+

f(x2)

f(x3)

+…+

f(xn)

f(xn+1)

＜

n

2

(n∈N*)，根据

f(xk)

f(xk+1)

=

2k-1

2k+1-1

=

1

2

-

1

2(2k+1-1)

大于

1

2

-

1

2k+1

，进而根据等比数列求和公式可证明

n-1

2

＜

f(x1)

f(x2)

+

f(x2)

f(x3)

++

f(xn)

f(xn+1)

．

解答：解：（I）

an+1-1

an-1

=

2an

an+1

?

a

2 n+1

-an+1=2(

a

2 n

-an)，
∵b_n=a_n²-a_n，b_n+1=2b_n，
∴数列{b_n}是公比和首项均为2的等比数列，
∴b_n=2ⁿ，
即

a

2 n

-an=2n?an=

1+ 1+2n+2

2

(∵an＞0).
（II）证明：因为等比数列{b_n}的前n项和xn=

2(2n-1)

2-1

=2n+1-2，
所以f（x_n）=2ⁿ-1．
故

f(xk)

f(xk+1)

=

2k-1

2k+1-1

=

2k-1

2(2k- 1 2 )

＜

1

2

，k=1，2，3，，n，
所以

f(x1)

f(x2)

+

f(x2)

f(x3)

++

f(xn)

f(xn+1)

＜

n

2

.
另一方面

f(xk)

f(xk+1)

=

2k-1

2k+1-1

=

1

2

-

1

2(2k+1-1)

，
=

1

2

-

1

2k+1+2kk+1-2

＞

1

2

-

1

2k+1

，k=1，2，，n.
∴

f(x1)

f(x2)

+

f(x2)

f(x3)

++

f(xn)

f(xn+1)

≥

n

2

-(

1

22

+

1

23

++

1

2n+1

)=

n

2

-

1

2

(1-

1

2n

)＞

n-1

2

.
∴

n-1

2

＜

f(x1)

f(x2)

+

f(x2)

f(x3)

++

f(xn)

f(xn+1)

＜

n

2

.

点评：本题主要考查了数列的递推式．数列的通项公式和求和问题与不等式、对数函数、幂函数等问题综合考查是近几年高考的热点题目．