Question

12．已知函数f（x）=sin²x+$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{3}{2}$，x∈R．
（I）求函数f（x）的最小正周期T及在[-π，π]上的单调递减区间．
（II）在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C，已知A为锐角，a=3$\sqrt{3}$，c=6，且f（A）是函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}}$]上的最大值，求△ABC面积．

Answer 1

分析 （I）利用倍角公式、和差公式可得：f（x）=$sin（2x-\frac{π}{6}）$+2，可得T=$\frac{2π}{2}$=π．由2kπ+$\frac{π}{2}$≤$2x-\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，基础即可得出单调区间．
（II）x∈[0，$\frac{π}{2}}$]，可得$（2x-\frac{π}{6}）$∈$[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$.$-\frac{1}{2}≤$$sin（2x-\frac{π}{6}）$≤1，因此f（x）_max=3，此时2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，由f（A）是函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}}$]上的最大值，A为锐角，可得A．由余弦定理与三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（I）f（x）=sin²x+$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{3}{2}$=$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$+$\frac{3}{2}$=$sin（2x-\frac{π}{6}）$+2，
∴T=$\frac{2π}{2}$=π．
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤$2x-\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，解得$kπ+\frac{π}{3}$≤x≤$\frac{5π}{6}+kπ$，（k∈Z）．
当k=0时，x∈$[\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}]$⊆[-π，π]．当k=-1时，x∈$[-\frac{2π}{3}，-\frac{π}{6}]$⊆[-π，π]．
∴函数f（x）[-π，π]上的单调递减区间是$[\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}]$，$[-\frac{2π}{3}，-\frac{π}{6}]$．
（II）x∈[0，$\frac{π}{2}}$]，∴$（2x-\frac{π}{6}）$∈$[-\frac{π}{6}，\frac{5π}{6}]$．∴$-\frac{1}{2}≤$$sin（2x-\frac{π}{6}）$≤1，∴f（x）_max=3，此时2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
∵f（A）是函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}}$]上的最大值，A为锐角，∴2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，解得A=$\frac{π}{3}$．
由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccos$\frac{π}{3}$，可得b²-6b+9=0，解得b=3．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}bc$sinA=$\frac{1}{2}×3×6×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了三角函数的图象与性质、余弦定理的应用、和差公式、倍角公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．