Question

7．数列{a_n}满足a₁=1，$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$=2，数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1-b_n=$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$，（以上n∈N^*），则{b_n}的通项公式是2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a₁=1，$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$=2，利用等比数列的通项公式可得：a_n=2^n-1．由b_n+1-b_n=$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a₁=1，$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$=2，
∴数列{a_n}是等比数列，首项为1，公比为2．
∴a_n=2^n-1．
∴b_n+1-b_n=$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{2}^{n-2}}$+…+$\frac{1}{2}$+1
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
故答案为：2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“累加求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．