Question

17．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2-|x|，x≤2\\{（x-2）^2}，x＞2\end{array}\right.$，若方程f（x）+f（2-x）=t恰有4个不同的实数根，则实数t的取值范围是（$\frac{7}{4}$，2）．

Answer 1

分析 方程f（x）+f（2-x）=t恰有4个不同的实数根?g（x）=f（x）+f（2-x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+2，x＜0}\\{2，0≤x≤2}\\{{x}^{2}-5x+8，x＞2}\end{array}\right.$与y=t的交点，画出图象，根据图象即可求解．

解答 解：由$f（x）=\left\{\begin{array}{l}2-|x|，x≤2\\{（x-2）^2}，x＞2\end{array}\right.$，
得f（2-x）=$\left\{\begin{array}{l}{2-|2-x|，x≥0}\\{{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
g（x）=f（x）+f（2-x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x+2，x＜0}\\{2，0≤x≤2}\\{{x}^{2}-5x+8，x＞2}\end{array}\right.$
画出函数g（x）的图象（如图），f（-$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{5}{2}$）=$\frac{7}{4}$．
方程f（x）+f（2-x）=t恰有4个不同的实数根，则实数t的取值范围是：（$\frac{7}{4}，2$）
故答案为：（$\frac{7}{4}，2$）

点评 本题考查了函数的解析式，函数与方程思想、数形结合思想，属于难题．