Question

(本小题满分12分)
已知四棱锥的底面为直角梯形,∥,∠,⊥底面,且,是的中点.

(1)证明:平面⊥平面;
(2)求与所成角的余弦值;
(3)求二面角的余弦值.

Answer 1

(1)见解析；(2)与所成角的余弦值为.
(3)二面角的余弦值为 。

第一问主要考查空间几何体中线，面位置关系的证明！掌握好线面位置关系的判定定理与性质定理注意线线，线面，面面之间的转化有利于证明题的解决。第二三问主要是线线角与二面角的求法。掌握利用向量求空间角的方法。
解：(1)∵⊥底面，
∴⊥
又∠
∴⊥
而平面，平面，
且
∴⊥平面，…………2分
又∥
∴⊥平面，…………3分
又平面，
∴平面⊥平面.              …………………………4分
(2)由(1)知可以为原点,建立如图空间直角坐标系,
∵,是的中点,
∴, ………………5分
∴ …………………………6分
∴,
∴与所成角的余弦值为.    …………………………8分
(3)∵
记平面的法向量为
则即,令则,
∴ …………………………9分
同理可得平面的法向量为 …………………………10分
∴ …………………………11分
又易知二面角的平面角为钝角,
∴二面角的余弦值为        …………………………12分