Question

已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，、分别是线段、的中点．

（1）证明：；
（2）判断并说明上是否存在点，使得∥平面；
（3）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）略（Ⅱ）满足的点即为所求．
（Ⅲ）二面角的余弦值为．

本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，空间直线与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定，其中解法一的关键是建立的空间坐标系，将空间线面关系转化为向量夹角问题，解法二的关键是熟练掌握空间线面关系的判定，性质．
（I）连接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由线面垂直性质定理可得DF⊥PA，再由线面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由线面垂直的性质定理得到PF⊥FD；
（Ⅱ）过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有AH=
AD，再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG=
AP，由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD，进而由面面平行的性质得到EG∥平面PFD．从而确定G点位置；（Ⅲ）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，则∠MNF即为二面角A-PD-F的平面角，解三角形MNF可得答案