Question

19．已知正三棱锥的底面边长为2，高为1．
（1）求该正三棱锥的体积；
（2求该正三棱锥的表面积．

Answer 1

分析 （1）正三棱锥S-ABC中，底面△ABC中，AB=AC=BC=2，取BC中点D，连结AD，SD，SO⊥底面ABC，交AD于O，则SO=1，由此能求出该正三棱锥的体积．
（2）该正三棱锥的表面积S=3S_△SBC+S_△ABC，由此能求出结果．

解答 解：（1）∵正三棱锥的底面边长为2，高为1，
∴正三棱锥S-ABC中，底面△ABC中，AB=AC=BC=2，
取BC中点D，连结AD，SD，SO⊥底面ABC，交AD于O，
则SO=1，
∴该正三棱锥的体积：
V=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}×SO$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（2）该正三棱锥的表面积：
S=3S_△SBC+S_△ABC=3×（$\frac{1}{2}×BC×SD$）+$\frac{1}{2}×2×\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$
=3×（$\frac{1}{2}×2×\sqrt{S{O}^{2}+（\frac{AD}{3}）^{2}}$）+$\sqrt{3}$
=3$\sqrt{1+\frac{1}{3}}$+$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查正三棱锥的体积和表面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．