Question

已知△ABC三个内角A、B、C的对边为a、b、c，，已知．
（1）判断三角形的形状，并说明理由．
（2）若y=，试确定实数y的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，可得acosA-bcosB=0．再由正弦定理推出sin2A=sin2B，根据a≠b得到 ，三角形ABC是直角三角形．
（2）由sinB=cosA 得，令 ，则 ，故 ，根据在单调递增，求出y的取值范围
解答：解：（1）∵，∴，∴acosA-bcosB=0．（2分）
由正弦定理知，，∴a=sinA，b=sinB．
∴sinAcosA-sinBcosB=0，∴sin2A=sin2B．（4分）
∵A，B∈（0，π），∴2A=2B或2A+2B=π．（5分）
∴A=B（舍去），故 ．
所以三角形ABC是直角三角形．（6分）
（2）∵sinB=cosA，∴．（7分）
∵，，∴．
∴，∴．（9分）
令 ，则 ，（11分）
∴．（12分）
∵在单调递增，∴，
∴，
又a≠b，故等号不成立
所以y的取值范围为．（14分）
点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦定理的应用，解三角形，属于中档题．