Question

已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

3

b=2a•sinB，且

AB

•

AC

＞0．
（1）求∠A的度数；
（2）若cos(A-C)+cosB=

3

2

，a=6，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）先根据

3

b=2a•sinB和正弦定理得到角A的正弦值，进而确定角A的值．
（2）运用三角形内角和等于180°，将角B转化为另两个角，然后代入cos(A-C)+cosB=

3

2

，再由运用两角和与差的余弦公式展开可求得sinC的值，再由三角形的面积公式可得答案．

解答：解：（Ⅰ）∵3b=2

3

a•sinB，
∴由正弦定理知：3sinB=2

3

sinA•sinB，
∵B是三角形内角，
∴sinB＞0，从而有sinA=

3

2

，
∵

AB

•

AC

＞0，
∴∠A=60°
（Ⅱ）将B=π-（A+C）代入cos(A-C)+cosB=

3

2

得：cos(A-C)-cos(A+C)=

3

2

，
利用两角和与差的余弦公式展开得：sinAsinC=

3

4

；sinC=

1

2

．
相应的有：∠C=30°，
∴△ABC的面积为6

3

．

点评：本题主要考查正弦定理和两角和与差的余弦公式的应用．主要考查三角公式的记忆．属基础题．