Question

已知△ABC三个内角A、B、C的对边分别为 a、b、c，向量 

m

=（cos

C

2

，sin

C

2

），

n

=（cos

C

2

，-sin

C

2

），且

m

与

n

的夹角为

π

3

．
（Ⅰ）求角C的值；
（Ⅱ）已知c=3，△ABC的面积S=

4 3

3

，求a+b的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用向量的数量积公式，结合二倍角公式，即可求C的值；
（Ⅱ）利用c=3，△ABC的面积S=

4 3

3

，结合（a+b）²=a²+b²-2ab，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）由题意

m

•

n

=（cos

C

2

，sin

C

2

）•（cos

C

2

，-sin

C

2

）=1×1×

1

2

∴cosC=

1

2

∵0＜C＜π
∴C=

π

3

；
（Ⅱ）∵c=3，△ABC的面积S=

4 3

3

，
∴

9=a2+b2-ab 1 2 ab• 3 2 = 4 3 3

∴

a2+b2= 43 3 ab= 16 3

∴（a+b）²=a²+b²-2ab=

11

3

∴a+b=

33

3

．

点评：本题考查向量的数量积公式，考查余弦定理、三角形面积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．